TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

 O CACHORO DE GRACELI.

TODA E QUALQUER PARTÍCULA E FENÔMENO NÃO CONSEGUE ESTAR AO MESMO TEMPO EM DOIS ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS QUÂNTICO, COMO TAMBÉM NÃO CONSEGUE TER DOIS SPINS E O MESMO TIPO DE MOMENTUN AO MESMO TEMPO,.

OU ESTAR NO PASSADO, PRESENTE OU FUTUTO .

MAS, UMA PARTÍCULA PODE  FAZER PARTE DO MUNDO CLÁSSICO E QUÂNTICO AO MESMO TEMPO.

OU SEJA, DENTRO DELA CONTÉM O MUNDO DE PARTÍCULAS E INTERAÇÕES ÍNFIMAS, E SENDO ELA UM BLOCO PRESENTE NO MUNDO CLÁSSICO.

IMAGINE UMA PEDRA QUE FAZ PARTE DO MUNDO CLÁSSICO, E DETRO DA MESMA COM INFINITAS E ÍNFIMAS PARTÍCULAS, INTERAÇÕES, E OUTROS FENOMENOS.

TEORIA GRACELI DO ESTADOS TRANSICIONAIS.

EM TODA SITUAÇÃO DE MUDANÇAS DE FASES ENTRE ESTADOS FÍSICOS A MATÉRIA PASSA POR FASES E FENÔMENOS FÍSICOS TRANSICIONAIS, COM MAIORES E MENORES INTENSIDADES , ACELERAÇÕES E FLUXOS DE ENERGIAS E CICLOS DE MOMENTUNS E OUTROS FENÔMENOS, ALTERANDO OS ESTADOS QUÂNTICO TAMBÉM DENTRO DA MATÉRIA.

IMAGINE UM CHUMBO QUE DERRETE A  500 GRAUS CELSIUS , E OUTRO QUE DERRETE A 1.000 GRAUS CELSIUS. CADA UM TERÁ ACELERAÇÕES DE FENÔMENOS E INTERAÇÕES QUÂNTICAS, E ESTADOS TRANSCIONAIS DIFERENTES..

O MESMO PARA MATERIAIS E ELEMENTOS QUÍMICO DIFERENTES.

 RELATIVIDADE DIMENSIONAL GRACELI.

 

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

outubro 27, 2021

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

ONDE CADA INFINITA PARTÍCULA TEM INFINITAS DIMENSÕES FORMANDO UM SISTEMA GERAL UNIFICATÓRIO COM PADRÕES DE VARIAÇÕES CONFORME AS PARTÍCULA QUE NO CASO PASSAM A REPRESENTAR DIMENSÕES, PADRÕES DE ENERGIAS E E PADRÕES POTENCIAIS DE TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES CATEGORIAS FÍSICAS DE GRACELI E OUTROS.

NA TEORIA DAS CORDAS PARTÍCULAS SÃO REPRESNTADAS POR VIBRAÇÕES.

JÁ NA TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL. NO CASO SÃO REPRENTADOS POR DIMENSÕES FÍSICAS E QUÍMICA DE GRACELI.

TEORIA FÍSICA DE GRACELI GENERALIZADA ENTRE SDCTIE , TENSORES DE GRACELI, NO :

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

As relações de Maxwell são um conjunto de equações em termodinâmica que são produzidas a partir da simetria das segundas derivadas e das definições dos potenciais termodinâmicos. Essas relações são nomeadas em homenagem ao físico do século XIX James Clerk Maxwell.

Índice

• 1Equações
• 2As quatro relações mais comuns
  • 2.1Derivação
• 3Relações de Maxwell gerais
• 4Outros potenciais
• 5Ver também
• 6Referências

Equações

A estrutura das relações de Maxwell é caracterizada pela igualdade entre as segundas derivadas de funções contínuas. Segue-se diretamente a partir do fato de que a ordem de diferenciação de uma função analítica de duas variáveis é irrelevante (teorema de Schwarz). No caso das relações de Maxwell, se a função Φ considerada é um potencial termodinâmico e ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle x_{j}}$ são duas variáveis naturais diferentes para esse potencial, escreve-se^[1] (pelo teorema de Clairaut-Schwarz):

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}\right)}$,

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

onde as derivadas parciais são tomadas com todas as outras variáveis naturais mantidas constante. Observa-se que, para cada potencial termodinâmico, existem n(n-1)/2 possíveis relações Maxwell, onde n é o número de variáveis naturais para esse potencial.

As quatro relações mais comuns

As quatro relações de Maxwell mais comuns são as igualdades das segundas derivadas de cada um dos quatro potenciais termodinâmicos, com respeito a sua variável térmica natural (temperatura T ou entropia S) e a sua variável mecânica natural (pressão p ou volume V). Aqui resumimos:

Para a energia livre de Helmholtz:

${\displaystyle F=F(V,T)\rightarrow \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}$;

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Para a entalpia:

${\displaystyle H=H(S,p)\Rightarrow \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}}$;

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Para a energia livre de Gibbs:

${\displaystyle G=G(T,p)\Rightarrow \left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T}=-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}$;/////

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

E para a energia interna:

${\displaystyle U=U(S,V)\Rightarrow \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}}$./////

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Os quadrados termodinâmicos (de Born) podem ser usados como um mnemônico para recordar e derivar essas relações. A utilidade das relações de Maxwell está nas quantificação de variações de entropia, que não são diretamente mensuráveis, em termos de quantidades mensuráveis como temperatura, volume e pressão.

Derivação

As relações de Maxwell são baseadas em regras simples de diferenciação parcial, em particular o diferencial total de uma função e a simetria para avaliação de derivadas parciais de segunda ordem.^[2]

[Expandir]Derivação

[Expandir]Derivação estendida

Relações de Maxwell gerais

O alistamento acima não encerra todas as relações de Maxwell. Quando outros termos de trabalho envolvendo outras variáveis naturais, além do volume, são considerados ou quando o número de partículas é incluído como uma variável natural, outras relações de Maxwell se tornam aparentes. Por exemplo, se tivermos um gás de um único componente cujo número de partículas N é também uma variável natural, então a relação de Maxwell para a entalpia no que diz respeito à pressão e ao número de partículas seria

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{S,N}=\left({\frac {\partial V}{\partial N}}\right)_{S,p}}$,/////

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em que ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico. No que diz respeito à entropia e ao número de partículas seria

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial S}}\right)_{p,N}=\left({\frac {\partial T}{\partial N}}\right)_{p,S}}$./////

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Assim, para H=H(S,p,N) temos n=3 variáveis e n(n-1)/2=3 relações de Maxwell.

A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função ${\displaystyle Y=Y_{(X_{0},X_{1},X_{2},...X_{n})}}$ sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes ${\displaystyle x_{i}}$ , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais ${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial Y_{(X_{0},X_{1},...X_{n})}}{\partial x_{i}}}}$ 

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associadas, e não as variáveis ${\displaystyle x_{i}}$ em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P_{0},P_{1},P_{2},...P_{n})}}$. A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.^[1]

Índice

• 1A Transformada de Legendre e a Termodinâmica
  • 1.1Equação fundamental e Equação de estado
  • 1.2Representações no Formalismo da Energia
• 2A transformada de Legendre
  • 2.1Descrição
  • 2.2Ao rigor da Matemática ^[5]
    • 2.2.1Definições
    • 2.2.2Consideração importante
  • 2.3Exemplos
    • 2.3.1Com uma variável
    • 2.3.2Com duas ou mais variáveis
• 3Novamente termodinâmica, e mecânica clássica
  • 3.1Termodinâmica: tabelas de transformadas
  • 3.2Lagrangianas e Hamiltonianos
    • 3.2.1Exemplo
• 4Referências
• 5Ver também

A Transformada de Legendre e a Termodinâmica

A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.

Equação fundamental e Equação de estado

Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir destas.

As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de moles) N, e da Energia Interna U: ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$. No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em ${\displaystyle S_{(U,V,N)}}$ tem-se facilmente ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$, também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron ${\displaystyle PV=NRT}$ e a equação da energia ${\displaystyle U={\frac {n}{2}}K_{b}T}$ (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.

Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron ${\displaystyle P_{(V,T,N)}}$ e a da energia ${\displaystyle U=U_{(T)}}$, em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com ${\displaystyle k_{B}}$ representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui ^[2]:

${\displaystyle S_{(U,V,N)}={\frac {3}{2}}Nk_{B}\ln \left({\frac {U}{N}}\right)+Nk_{B}\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nk_{B}c}$ ^[3]/////

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Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:

${\displaystyle U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$/////

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Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão ${\displaystyle P}$ , temperatura ${\displaystyle T}$, e potencial químico ${\displaystyle \mu }$ ( onde ${\displaystyle P=-{\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial V}}}$ , ${\displaystyle \mu ={\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial N}}}$ e /////

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${\displaystyle T={\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}}$ /////

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no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.

Representações no Formalismo da Energia

A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:

• A energia interna U, onde ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ : a representação padrão no formalismo da energia.

• A energia livre de Helmholtz F, onde ${\displaystyle F=F_{(T,V,N)}}$: decorre da substituição da grandeza extensiva S em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo ${\displaystyle F=F_{(T,V,N)}}$ "mais adequada" para o estudo das transformações isotérmicas.

• A entalpia H, onde ${\displaystyle H=H_{(S,P,N)}}$: decorre da substituição da grandeza extensiva V em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo ${\displaystyle H=H_{(S,P,N)}}$ "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.

• A energia livre de Gibbs G, onde ${\displaystyle G=G_{(T,P,N)}}$: decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$, mediante G= U-TS+PV , sendo ${\displaystyle G=G_{(T,P,N)}}$ "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.

• O grande potencial canônico, ${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$, decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas ${\displaystyle N_{i}}$ pelas correspondentes intensivas ${\displaystyle \mu _{i}}$ em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$, mediante ${\displaystyle C=U-TS-\Sigma \mu _{i}N_{i}}$ ,

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   sendo ${\displaystyle C=C_{(T,V,...,\mu _{i})}}$ "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.

Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental, ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$, o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$ em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.

A transformada de Legendre

Descrição

O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação ${\displaystyle f'_{(x)}=P_{(x)}={\frac {\partial f_{(x)}}{\partial x}}}$ no ponto x.

Há duas formas de se especificar a curva vista em vermelho na figura: fornecendo-se diretamente a relação entre Y e X (a exemplo Y=X²), ou especificando-se o conjunto de retas a ela tangentes - vistas em azul na figura. Para definir-se este conjunto de retas especifica-se a relação existente entre o interceptos ${\displaystyle \Psi }$ e as inclinações P das respectivas retas: ${\displaystyle \Psi =-P^{2}/4}$ no exemplo. A transformada de Legendre,quando aplicada a uma das equações, fornece a outra (ou, ao rigor da matemática, menos a outra: ${\displaystyle \Psi =+P^{2}/4}$).

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função ${\displaystyle Y_{(X)}}$ dependente de apenas uma variável independente, X.

Sendo ${\displaystyle P={\frac {\partial {Y_{(X)}}}{\partial x}}={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}}$ no

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 presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função ${\displaystyle Y_{(P)}}$ onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em ${\displaystyle Y_{(X)}}$ mediante a relação estabelecida entre P e X por ${\displaystyle P={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}}$./////

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 Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido ${\displaystyle Y_{(P)}}$, não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$. Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$ é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$ partindo-se de ${\displaystyle Y_{(P)}}$, a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.

A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação ${\displaystyle Y_{(P)}}$ que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação ${\displaystyle Y_{(X)}}$ da curva.

Para tal, considere a reta tangente à curva ${\displaystyle Y_{(X)}}$ no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto ${\displaystyle \psi }$ onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:

${\displaystyle P={\frac {\Delta Y}{\Delta X}}={\frac {Y-\psi }{X-0}}}$/////

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donde tem-se

${\displaystyle \psi =Y-PX}$/////

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Como as expressões ${\displaystyle Y_{(X)}}$ e ${\displaystyle P=P_{(X)}}$ são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e ${\displaystyle \psi }$ na equação acima, o que fornece a procurada relação ${\displaystyle \psi =\psi _{(P)}}$. Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto ${\displaystyle \psi }$ onde esta reta deve interceptar o eixo Y.

Para recuperar-se a equação original ${\displaystyle Y_{(X)}}$ partindo-se da equação ${\displaystyle \psi _{(P)}}$, basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação^[4], à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).

Em resumo tem-se:

A transformada de Legendre: ${\displaystyle Y_{(X)}<->\psi _{(P)}}$

${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$	${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$
${\displaystyle P={\frac {\partial Y_{(X)}}{\partial X}}}$	${\displaystyle -X={\frac {\partial \psi _{(P)}}{\partial P}}}$
Determinar ${\displaystyle X=X_{(P)}}$ e ${\displaystyle Y=Y_{(P)}}$	Determinar ${\displaystyle P=P_{(X)}}$ e ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(X)}}$
${\displaystyle \Psi =-PX+Y}$	${\displaystyle Y=XP+\Psi }$
Eliminação de X e Y fornece ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$	Eliminação de P e ${\displaystyle \Psi }$ fornece ${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$
${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$	${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$

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Ao rigor da Matemática ^[5]

Definições

Em matemática, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ^∗ definida por:

${\displaystyle f^{\star }(p)=\max _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}.}$

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Se ƒ é diferenciável, então ƒ^∗(p) pode ser interpretado como o negativo ^[6] do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=p.}$

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Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ^∗. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ^∗ satisfaz a definição de um funcional.

${\displaystyle f^{\star }(f'(x))=xf'(x)-f(x).}$

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A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa.

A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.

A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transformada de Legendre-Fenchel.

A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar ${\displaystyle px-f(x)}$ em relação a ${\displaystyle x}$, faz-se a sua derivada igual a zero:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0.\quad \quad (1)}$

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Então a expressão é maximizada quando:

${\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ (2)}$

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Quando ${\displaystyle f}$ é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2} \over \mathrm {d} x^{2}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0,}$

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Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se ${\displaystyle x}$ como função de ${\displaystyle p}$ e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,

${\displaystyle f^{\star }(p)=p\,\,x(p)-f(x(p)).}$

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Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de ${\displaystyle f(x)}$: encontre ${\displaystyle p={df \over dx}}$, inverta para ${\displaystyle x}$ e substitua o resultado em ${\displaystyle xp-f(x)}$. Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente ${\displaystyle x}$ é substituída por ${\displaystyle p={df \over dx}}$, /////

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o qual é a derivada da função original em respeito a ${\displaystyle x}$.

Consideração importante

Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f^{\star }}$ são ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas são funções inversas uma da outra:

${\displaystyle Df=\left(Df^{\star }\right)^{-1}.}$

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Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de ${\displaystyle f^{\star }}$:

${\displaystyle {df^{\star }(p) \over dp}={d \over dp}(xp-f(x))=x+p{dx \over dp}-{df \over dx}{dx \over dp}=x.}$

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Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:

${\displaystyle p={df \over dx}(x),}$

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${\displaystyle x={df^{\star } \over dp}(p).}$

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Vê-se que ${\displaystyle Df}$ e ${\displaystyle Df^{\star }}$ /////

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são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:

${\displaystyle f(x)+f^{\star }(p)=x\,p.}$

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embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:

${\displaystyle f(x)-f^{\star }(p)=x\,p.}$

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O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro: ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa, e encontra-se assim diretamente relacionada à Integração por partes.

Exemplos

Com uma variável

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função ${\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}}$

Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:

Da linha 2:

${\displaystyle P={\frac {\partial Y_{(X)}}{\partial X}}=2X}$/////

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Logo, para a linha 3: ${\displaystyle X={\frac {p}{2}}}$/////

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e ${\displaystyle Y=X^{2}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}$/////

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Da linha 4: ${\displaystyle \Psi =-PX+Y}$/////

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Eliminando-se X e Y:

${\displaystyle \Psi =-P\left({\frac {P}{2}}\right)+\left({\frac {P}{2}}\right)^{2}}$/////

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resulta em:

${\displaystyle \Psi ={\frac {-P^{2}}{4}}}$/////

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Assim, a Transformada de Legendre para ${\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}}$ é ${\displaystyle \Psi _{(P)}={\frac {-P^{2}}{4}}}$ ^[7]/////

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A transformação inversa ficará a cargo do leitor.

Com duas ou mais variáveis

A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz ${\displaystyle F_{(T,V,N)}}$ para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$.

Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:

${\displaystyle U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$/////

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da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:

${\displaystyle F=U-TS}$/////

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mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.

Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}\right)_{V,N}}$/////

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onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}\right)_{V,N}={\frac {2}{3k_{B}}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$/////

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Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:

${\displaystyle S={\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}}$/////

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a ser substituída em

${\displaystyle F=U-TS=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}-TS}$/////

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o que resulta em:

${\displaystyle F=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {{\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}}{Nk_{B}}}-c\right)}-T\left({\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}\right)}$

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Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.

Procendo com os cálculos, ter-se-á:

${\displaystyle F=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}-{\frac {3}{2}}Nk_{B}T\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]-cNk_{B}T}$

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o que, com mais algumas simplificações, resulta em:

${\displaystyle F_{(T,V,N)}=Nk_{B}T\ln \left({\frac {N}{V}}\right)-{\frac {3}{2}}Nk_{B}T\ln \left({\frac {3k_{B}T}{2}}\right)+Nk_{B}T\left({\frac {3}{2}}-c\right)}$

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que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.

Novamente termodinâmica, e mecânica clássica

Termodinâmica: tabelas de transformadas

No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:

Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ tem-se:

${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$
${\displaystyle T={\frac {\partial U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial S}}}$	${\displaystyle -P={\frac {\partial U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial V}}}$	${\displaystyle T={\frac {\partial H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial S}}}$	${\displaystyle \mu _{i}={\frac {\partial F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial N_{i}}}}$
Determinar ${\displaystyle S=S_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle U=U_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle V=V_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle U=U_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle S=S_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle H=H_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle F=F_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$ e ${\displaystyle N_{i}=N_{i(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$
${\displaystyle F=U-TS}$	${\displaystyle H=U+PV}$	${\displaystyle G=H-TS}$	${\displaystyle C=F-\Sigma \mu _{i}N_{i}}$
Eliminação de U e S fornece:	Eliminação de U e V fornece:	Eliminação de H e S fornece:	Eliminação de F e ${\displaystyle N_{i}}$ fornece:
Energia Livre de Helmholtz F	Entalpia H	Energia livre de Gibbs G	Grande Potencial Canônico C
${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle G=G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$

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Transformadas de Legendre em Termodinâmica - Formalismo da Energia - Para chegar-se a ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ tem-se:

${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle G=G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$
${\displaystyle -S={\frac {\partial F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial T}}}$	${\displaystyle V={\frac {\partial H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial P}}}$	${\displaystyle -S={\frac {\partial G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial T}}}$	${\displaystyle -N_{i}={\frac {\partial C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}{\partial \mu _{i}}}}$
Determinar ${\displaystyle T=T_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle F=F_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle P=P_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle G=G_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle T=T_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle C=C_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$
${\displaystyle U=F+TS}$	${\displaystyle U=H-PV}$	${\displaystyle H=G+TS}$	${\displaystyle F=F+\Sigma \mu N_{i}}$
Eliminação de T e F fornece:	Eliminação de P e H fornece:	Eliminação de G e T fornece:	Eliminação de C e ${\displaystyle \mu _{i}}$ fornece:
Energia Interna U	Energia Interna U	Entalpia H	Energia Livre de Helmhotz F
${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$

Lagrangianas e Hamiltonianos

No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange ^[8] garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de ${\displaystyle S_{(U,V,N)}}$ na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:

${\displaystyle L=L_{(v_{1},v_{2},...,v_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}$

Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.

A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado ${\displaystyle P_{k}}$ conjugado à correspondente velocidade ${\displaystyle v_{k}}$ é definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade ${\displaystyle v_{k}}$ (k<=r):

${\displaystyle P_{k}={\frac {\partial L_{(v_{1},v_{2},...,v_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}{\partial v_{k}}}}$/////

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Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamada Hamiltoniano, definida por:

${\displaystyle (-H)=L-\Sigma _{1}^{r}{P_{k}v_{k}}}$

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Um novo formalismo dinâmico, a mecânica hamiltoniana, pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental ${\displaystyle H_{(P_{1},P_{2},...P_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}$

As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da mecânica quântica.

Exemplo

Oscilador harmônico simples ideal. O estudo deste sistema pode ser feito através do conhecimento de sua Lagrangiana ou de seu Hamiltoniano. Conhecida um destas funções, obtém-se facilmente a outra através da Transformada de Legendre

Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harmônico unidimensional constituído de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito.

A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só há energia potencial elástica no sistema:

${\displaystyle L_{(x,{\dot {x}})}=T-U={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}}$/////

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Nesta equação, ${\displaystyle {\dot {x}}}$ representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.

A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.

Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo

${\displaystyle L=L_{(x_{1},x_{2},...,x_{n},{\dot {x_{1}}},{\dot {x_{2}}},...,{\dot {x_{n}}})}}$ tem-se, com i=1,2,...

que:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0}$

Para o problema em questão:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-kx}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}}$

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O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$, que é a equação diferencial para o sistema em estudo.

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o artigo dedicado).

${\displaystyle X(t)=Acos(kx-\omega t+\phi )}$

onde ${\displaystyle \omega =\left({\frac {k}{m}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

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Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.

O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.

Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade ${\displaystyle {\dot {x}}}$ é:

${\displaystyle P={\frac {\partial L_{(x,{\dot {x}})}}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}$/////

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de onde, isolando-se ${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {P}{m}}}$/////

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Determinando-se o Hamiltoniano H através de

${\displaystyle (-H)=L-P{\dot {x}}}$/////

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tem-se, já eliminando-se ${\displaystyle {\dot {x}}}$ em favor de P:

${\displaystyle (-H)={\frac {1}{2}}m\left({\frac {P}{m}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}-P\left({\frac {P}{m}}\right)}$/////

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Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:

${\displaystyle H_{(P,x)}={\frac {P^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

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Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.

As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial P}}=P/m}$

${\displaystyle -{\dot {P}}={\frac {\partial H}{\partial x}}=kx}$

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Da primeira tem-se:

${\displaystyle P=m{\dot {x}}}$ donde

${\displaystyle {\dot {P}}=m{\ddot {x}}}$ para um sistema com massa constante.

Substituindo na segunda:

${\displaystyle -{\dot {P}}=kx=-m{\ddot {x}}}$

e por fim

${\displaystyle kx+m{\ddot {x}}=0}$

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que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.

Espaço de fases de um sistema dinâmico com estabilidade focal.

Espaço de fases ou espaço fásico é definido como o espaço formado pelas posições generalizadas e seus momentos conjugados correspondentes. Se emprega no contexto da mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana. Usualmente se designa o espaço fásico ou uma parte dele por Γ (gamma maiúscula). Fisicamente cada ponto do espaço fásico representa um possível estado do sistema mecânico.

Em física estatística se usam distribuições de probabilidade definidas sobre o espaço fásico. Partindo de certo subconjunto das distribuições de probabilidade de um espaço fásico pode construir-se uma estrutura de espaço de Hilbert. Estes espaços de Hilbert de um sistema clássico são a base para os espaços de Hilbert que aparecem na mecânica quântica.

Índice

• 1Espaço de fases na mecânica clássica
• 2Espaço de fases em mecânica quântica
  • 2.1Quantização a partir do espaço fásico clássico
• 3Termodinâmica e mecânica estatística
• 4Referências
• 5Ligações externas

Espaço de fases na mecânica clássica

Em mecânica clássica o espaço de fases é uma construção matemática a partir do espaço de configuração. Concretamente um espaço de fases adequado para um sistema com um número finito de graus de libertade é um fibrado tangente do espaço de configuração do sistema mecânico. Esse fibrado tangente construído dessa maneira pode ainda ser dotado de uma topologia simplética onde podem formular-se convenientemente os teoremas da mecânica hamiltoniana.

Um dos teoremas clássicos sobre espaços de fases é o teorema de Liouville, segundo o qual uma nuvem de pontos distribuídos de acordo com uma densidade de probabilidade que represente um estado de equilíbrio macroscópico ρ(p_i,q_i) deve ser invariável no tempo.

Além disto cada hamiltoniano H definido sobre um espaço de fases está associado a um conjunto de trajetórias de evolução temporal. O conjunto de trajetórias constitui uma foliação unidimensional do espaço de fases que recobre quase todo o espaço de fases (concretamente todo o espaço de fases, salvo um conjunto de medida nula), este último equivale a que o espaço pode ser descomposto em trajetórias que não se intersectam.

Espaço de fases em mecânica quântica

Uma das características distintas da mecânica quântica é que o estado físico de um sistema não determina o resultado de qualquer medida que possa fazer-se sobre ele. Em termos mais simples, o resultado de uma medida sobre dois sistemas quânticos que tenham o mesmo estado físico nem sempre resulta nos mesmos resultados. Assim uma teoria como a mecânica quântica que trata de descrever a evolução temporal dos sistemas físicos só pode prever a probabilidade de que ao medir uma determinada grandeza física se obtenha determinado valor. Isto quer dizer que a mecânica quântica realmente é uma teoria que explica como varia a distribuição de probabilidade das possíveis medidas de um sistema (entre duas medições consecutivas, já que no instante da medida se produz um colapso da função de onda aleatório).

O estado quântico de um sistema pelas razões anteriormente expostas não se parece em nada ao estado clássico de uma partícula ou um sistema de partículas. De fato o estado quântico de um sistema é representável mediante uma função de onda:

$${\displaystyle \Phi \in L_{\mu }^{2}(\Gamma )}$$

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A relação mais próxima entre espaço fásico e função de onda é que o quadrado do módulo da função de onda está relacionado com uma distribuição de probabilidade definida sobre o espaço fásico. Isto significa que, para construir o conjunto de estados quânticos ou espaço de Hilbert de certos sistemas quânticos, pode considerar-se inicialmente o espaço fásico que se usaria em sua descrição clássica e considerar o conjunto de funções de quadrado integrável sobre o espaço fásico, a este tipo de procedimento se conhece como quantização.

Quantização a partir do espaço fásico clássico

Ver artigo principal: Quantização

Em física estatística se empregam distribuições de probabilidade sobre o espaço fásico, este conjunto de distribuições de probabilidade pode dotar-se de estrutura de espaço de Hilbert. É precisamente sobre esta abstração última que se constrói a mecânica quântica onde não se empregam espaços de configuração, senão diretamente espaços de Hilbert. O estado de um sistema quântico se define como uma "função de onda" que não é outra coisa que um elemento ou vetor deste espaço de Hilbert (concretamente o estado do sistema é uma classe de equivalência de vetores do espaço de Hilbert).

O teorema de Liouville é um resultado da mecânica hamiltoniana sobre a evolução temporal de um sistema mecânico. Considera-se um conjunto de partículas com condições iniciais próximas que podem ser representadas no espaço de fases por uma região conexa, a qual, apesar de se expandir e contrair a medida que cada partícula evolua, manterá invariante seu volume.

Há também resultados matemáticos relacionados em topologia simplética e teoria ergódica.

Consideremos uma região do espaço fásico que evolua com o tempo ao deslocar-se sobre sua trajetória. Cada um de seus pontos transforma-se ao longo do tempo em uma região de localizada forma diferente, a qual se situa em outra parte do espaço fásico. O teorema de Liouville afirma que, apesar da translação e a alteração de forma, o "volume" total desta região permanecerá invariante. Além disso, devido à continuidade da evolução temporal, se a região for conexa inicialmente, seguirá sendo conexa todo o tempo.

Quase todas as demostrações usam o fato de que a evolução temporal de uma "nuvem" de pontos no espaço fásico é de fato uma transformação canônica que alterará a forma e posição de tal nuvem, ainda que mantenha seu volume total.

Índice

• 1Demonstração direta
• 2Demonstração baseada na forma simplética
• 3Equação de Liouville
• 4Mecânica quântica
• 5Referências

Demonstração direta

Uma forma de ver provada que a evolução temporal é uma transformação canônica, fato relativamente perceptível, e a partir daí calcular diretamente o determinante de tal alteração de coordenadas, é provar que de fato o determinante de tal transformação é igual a 1, o qual prova a invariância do volume.

Demonstração baseada na forma simplética

Outra forma de provar o teorema é ter em conta que a forma de volume ${\displaystyle {\eta }_{\Gamma }\;}$ do espaço fásico é o n-ésimo produto da forma simplética, e que está de acordo com o teorema de Darboux, expressando-se como produto de pares de variáveis canonicamente conjugadas:

${\displaystyle {\eta }_{\Gamma }=\bigwedge _{i=1}^{n}\omega =\omega \land \dots \land \omega =dp_{1}\land \dots \land dp_{n}\land dq_{1}\land \dots \land dq_{n}=dP_{1}\land \dots \land dP_{n}\land dQ_{1}\land \dots \land dQ_{n}}$

De onde segue que o determinante da transformação é igual a 1 e, portanto:

${\displaystyle \forall V\subset \Gamma :\quad \int _{V}d^{n}\mathbf {q} d^{n}\mathbf {p} =\int _{\phi _{\tau }(V)}d^{n}\mathbf {Q} d^{n}\mathbf {P} }$

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Essa última expressão é essencialmente o enunciado do teorema de Liouville.

Equação de Liouville

O teorema de Liouville pode ser reescrito em termos do colchete de Poisson. Essa forma alternativa, conhecida como equação de Liouville, vem a ser dada por:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}}$

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ou em termos do operador de Liouville, também chamado "Liouvilliano":

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right],}$

que leva à forma:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\hat {\mathbf {L} }}\rho =0.}$

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Mecânica quântica

Em mecânica quântica existe um resultado análogo ao teorema de Liouville que descreve a evolução de um estado misto. De fato, pode-se chegar à versão mecânico-quântica deste resultado mediante a simples quantização canônica. Aplicando esse procedimento formal, chegamos ao análogo quântico do teorema de Liouville:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-{\frac {i}{\hbar }}[H,\rho ]}$

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Onde ρ é a matriz densidade. Quando se aplica o resultado ao valor esperado de um observável, a correspondente equação dada pelo teorema de Ehrenfest toma a forma:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle [H,A]\rangle }$

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Onde ${\displaystyle A\,}$ é um observável.