TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

 

 RELATIVIDADE DIMENSIONAL GRACELI.

 

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

outubro 27, 2021

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

ONDE CADA INFINITA PARTÍCULA TEM INFINITAS DIMENSÕES FORMANDO UM SISTEMA GERAL UNIFICATÓRIO COM PADRÕES DE VARIAÇÕES CONFORME AS PARTÍCULA QUE NO CASO PASSAM A REPRESENTAR DIMENSÕES, PADRÕES DE ENERGIAS E E PADRÕES POTENCIAIS DE TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES CATEGORIAS FÍSICAS DE GRACELI E OUTROS.

NA TEORIA DAS CORDAS PARTÍCULAS SÃO REPRESNTADAS POR VIBRAÇÕES.

JÁ NA TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL. NO CASO SÃO REPRENTADOS POR DIMENSÕES FÍSICAS E QUÍMICA DE GRACELI.

TEORIA FÍSICA DE GRACELI GENERALIZADA ENTRE SDCTIE , TENSORES DE GRACELI, NO :

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

A equação de Clausius–Mossotti, equação nomeada após o físico italiano Ottaviano-Fabrizio Mossotti, em um livro de 1850 analisar a relação entre a constante dieléctrica e do físico alemão Rudolf Clausius, que demonstrou sua fórmula em 1879, no contexto de índices de refração e não da constante dieléctrica. Por vezes, a fórmula também é usada na condutividade.

${\displaystyle \mathbf {E} _{tot}=\mathbf {E} _{externo}+{\frac {\mathbf {P} }{3}}}$

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

Onde ${\displaystyle \mathbf {P} }$ é um vetor de polarização elétrica, como se conhece usualmente.

O fator que acompanha a${\displaystyle \mathbf {P} }$ pode diferir de ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ até que se tenha assumido que é a correta ordem de magnitude.

Para dieléctricos lineares,

${\displaystyle \mathbf {P} =N\alpha \left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3}}\right)}$/////

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

${\displaystyle (\epsilon -1)\mathbf {E} =N\alpha \left(\mathbf {E} +{\frac {\epsilon -1}{3}}\mathbf {E} \right)}$/////

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

${\displaystyle {\frac {(\epsilon -1)}{(\epsilon +2)}}={\frac {N\alpha }{3}}}$/////

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Onde N é o número de moléculas por unidade de volume e ${\displaystyle \alpha }$ é a polaridade molecular.

${\displaystyle \epsilon =(4\pi \chi +1)}$, substituindo a equação anterior:

${\displaystyle \chi ={\frac {N\alpha }{1-4\pi N\alpha /3}}}$/////

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

Como essa expressão foi derivada originalmente de valores com baixos valores de N, se adequa para materiais não polares, mas densos.

Em física, uma equação de continuidade expressa uma lei de conservação de forma matemática, tanto de forma integral como de forma diferencial.

Índice

• 1Geral
• 2Teoria eletromagnética
• 3Mecânica de fluidos
• 4Mecânica quântica
• 5Quadricorrentes
• 6Ver também
• 7Referências

Geral

A fórmula geral para uma equação de continuidade é

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi {\vec {v}})=s}$

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onde ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ é qualquer quantidade, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é a velocidade do fluido e s descreve a geração (ou remoção) de ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$. Esta equação pode ser derivada por considerar os fluxos em um compartimento infinitesimal. Esta equação geral deve ser usada para derivar qualquer equação de continuidade, desde uma simples como a equação de continuidade de um volume a complicadas como as equações de Navier-Stokes. Esta equação também generaliza a equação de advecção.

Teoria eletromagnética

Em teoria eletromagnética, a equação de continuidade vem derivada de duas das equações de Maxwell. Estabelece que a divergência da densidade de corrente é igual ao negativo da derivada da densidade de carga respectiva ao tempo.

A densidade da corrente é o movimento de densidade de carga. A equação da continuidade diz que se a carga se move para fora de um volume diferencial (isto é, a divergência da densidade de corrente é positivo), então a quantidade de carga no interior desse volume vai diminuir, portanto, a taxa de variação da densidade de carga é negativa. Portanto, a equação da continuidade mostra que existe conservação da carga.

Em outras palavras, só poderia haver um fluxo de corrente se a quantidade de carga varia com o passar do tempo, já que está diminuindo ou aumentando em proporção à carga que é usada para alimentar tal corrente.

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {J}}=-{\partial \rho \over \partial t}}$

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Esta equação estabelece a conservação da carga.

Mecânica de fluidos

Em mecânica de fluidos, uma equação de continuidade é uma equação de conservação da massa amplamente usada na física e na engenharia. Sua forma diferencial é:

${\displaystyle {\vec {\bigtriangledown }}\bullet {\vec {J}}={\frac {-\partial \rho }{\partial t}}}$

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seja ${\displaystyle {\vec {J}}}$ a densidade de corrente e ${\displaystyle \rho }$ a densidade do fluido. A fórmula nos diz que se a variação da densidade de corrente em relação ao tempo é proporcional à variação da densidade em relação ao tempo. Em um primeiro momento esta fórmula parece ser complicada, todavia após a dedução a seguir ela se tornará intuitiva para deslocamento de fluidos e inclusive para deslocamentos de carga.

Começamos a dedução a partir de uma suposição, dentro do volume analisado não há criação de massa ou sumiço da mesma, ou seja, não haverá nenhuma torneira nem nenhum cano de dreno por exemplo. Vamos supor que temos uma caixa de volume elementar,

${\displaystyle \Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z}$/////

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a qual por ela existe um deslocamento de um fluido qualquer, a função vetorial que rege a velocidade deste fluido é

${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z,t)=v_{1}{\vec {i}}+v_{2}{\vec {j}}+v_{3}{\vec {k}}}$

e a densidade de corrente é:

${\displaystyle {\vec {J}}(x,y,z,t)=J_{1}{\vec {i}}+J_{2}{\vec {j}}+J_{3}{\vec {k}}}$(${\displaystyle {\vec {J}}}$ é massa por unidade de área por unidade de tempo)

A massa que sai pela face ${\displaystyle xz}$ em um determinado tempo por unidade de área é:

${\displaystyle J_{2}(x,y+\Delta y,z,t)}$/////

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e a massa que entra é

${\displaystyle J_{2}(x,y,z,t)}$.

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Portanto se fizermos ${\displaystyle \left(J_{2}(x,y+\Delta y,z,t)-J_{2}(x,y,z,t)\right)\Delta x\Delta z}$ teremos a diferença de massa de saída pela massa de entrada.

Podemos somar a contribuição de todas as faces no volume infinitesimal obtendo, portanto:

${\displaystyle [{\frac {\Delta J_{1}}{\Delta x}}+{\frac {\Delta J_{2}}{\Delta y}}+{\frac {\Delta J_{3}}{\Delta z}}]\Delta V}$

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Supondo que esta variação seja devido à variação da densidade em relação ao tempo, e aplicando o limite para termos a fórmula para um ponto do espaço:

${\displaystyle {\vec {\bigtriangledown }}\bullet {\vec {J}}={\frac {-\partial \rho }{\partial t}}}$, 

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obtemos portanto a equação apresentada no inicio do texto.

Como dito anteriormente não há fontes e também não há sumidouros, desta forma tivemos que atribuir esta diferença de massa à outra causa. Vejamos que faltou levarmos em consideração apenas uma hipótese, o que acontecerá se houverem flutuações temporais na densidade? Desta forma, como dito no paragrafo anterior, a variação do que entra em relação ao que sai, quando o fluido está em uma região livre de fontes e sumidouros, é consequência das flutuações da densidade do fluido no tempo em um determinado ponto do espaço ^[1]

É uma das três Equações de Euler (fluidos).

Mecânica quântica

Em mecânica quântica, a conservação de probabilidade também resulta uma equação de continuidade. Resultando P(x, t) ser uma função densidade de probabilidade e escreve

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \over \partial t}P(x,t)}$

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onde J é fluxo de probabilidade.

Quadricorrentes

A conservação de uma corrente (não necessariamente uma corrente eletromagnética) é expressa compactamente como a divergência do invariante de Lorentz de uma quadricorrente:

${\displaystyle J^{a}=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

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onde

c é a velocidade da luz

ρ a densidade de carga

j a convencional densidade de corrente.

a define a dimensão do espaço-tempo

de modo que desde

${\displaystyle \partial _{a}J^{a}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} }$

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então

${\displaystyle \partial _{a}J^{a}=0}$

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implica que a corrente é conservada:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}$

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Em dinâmica de fluidos, as equações de Euler são as equações que descrevem o movimento de um fluido compressível não viscoso. Sua expressão corresponde às equações de Navier-Stokes quando as componentes dissipativas são desprezáveis frente às convectivas, isto nos leva às seguintes condições que se podem deduzir através da análise de magnitudes das Navier-Stokes:

${\displaystyle Re={\frac {\rho _{0}U_{0}L_{0}}{\mu }}\gg 1}$

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Ainda que, habitualmente, se expressam na forma mostrada neste artigo, dado que deste modo se enfatiza o fato de que representam diretamente a conservação de massa, momento e energia.

Estas equações se chamam assim em honra a Leonhard Euler que as deduziu diretamente das leis de Newton. Este artigo contempla as conotações aplicáveis à mecânica clássica; para fluidos compressíveis com velocidades próximas à velocidade da luz se deve consultar o artigo equações relativísticas de Euler. descobri a equação da vibração.

Expressão matemática

Ainda que formalmente as equações de Euler se reduzem a fluxo irrotacional no limite de desaparecimento do número de Mach (ou seja, para números de Mach muito pequenos), isto não é útil na prática, devido essencialmente a que a aproximação de incompressibilidade não resulta em exatidão aos cálculos. A expressão diferencial destas equações é a seguinte:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

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${\displaystyle \rho {\partial {\mathbf {u} } \over \partial t}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla (\mathbf {u} )+\nabla p=0}$

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${\displaystyle {\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0}$

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onde ${\displaystyle E=\rho e+\rho (u^{2}+v^{2}+w^{2})/2}$ é a energia total por unidade de volume (${\displaystyle e}$ é a energia interna por unidade de massa para o fluido), ${\displaystyle p}$ é a pressão, ${\displaystyle u}$ a velocidade do fluido e ${\displaystyle \rho }$ a densidade do fluido. A segunda equação inclui a divergência de um tensor diádico e pode ficar mais clara de acordo à seguinte notação:

${\displaystyle {\partial \rho u_{j} \over \partial t}+{\partial \rho u_{i}u_{j} \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0}$

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Note-se que as equações anteriores estão expressas em forma de conservação ou equilíbrio, dado que com esta forma se enfatiza sua origem física (e é além disso em grande medida a mais conveniente para a simulação computacional da dinâmica de fluidos). O componente do momento das equações de Euler se expressa do seguinte modo:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}$

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ainda que esta forma oculte a conexão direta existente entre as equações de Euler e a segunda lei de Newton (em particular, não é claramente intuitivo por que esta equação é correta e ${\displaystyle \left(\partial /{\partial t}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right)(\rho {\mathbf {u} })+\nabla p=0}$ não o é). Em formato vetorial as equações de Euler ficam expressas do seguinte modo:

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$

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onde

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}}\qquad G={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.\qquad }$

Esta forma deixa mais claro que ${\displaystyle F,G,H}$ são caudais.

As equações anteriores representam portanto a conservação da massa, os três componentes do momento e a energia. Há portanto cinco equações e seis incógnitas ${\displaystyle (\rho ,u,v,w,E,p)}$. Para fechar o sistema se necessita uma equação de estado; a equação de estado mais comumente utilizada é a lei dos gases ideais ( p.e. ${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}$ ).

Uma característica muito importante das Equações de Euler é que devido a que procedem de uma redução das Equações de Navier-Stokes desprezando os termos provenientes dos términos dissipativos como afirmado no princípio, se elimina nas equações os termos em derivadas parciais de maior grau: ${\displaystyle \nabla {\overline {\tau }}}$ na equação da quantidade de movimento assim como ${\displaystyle \nabla (K\nabla T)}$ e ${\displaystyle \tau ':\nabla v}$ da equação da energia, estas equações não poderiam cumprir com todas as condições de contorno naturais. Em particular não cumprem com a condição de não deslizamento nas superficies de contato com sólidos ou a condição de continuidade da temperatura, estas descontinuidades carecem de importância para muitas aplicações mas não para outras o que envolve tratar nessas descontinuidades com outras equações que finalmente envolveriam a temas muito profumdos dentro desta disciplina como é a "Teoria da camada limite". Por último há de se dizer que em fluxos supersônicos se produzem outras descontinuidades nestas equações como são as Ondas de Choque ou as Ondas de Mach.

Note-se a desigual forma para a equação da energia; ver a equação de Rankine-Hugoniot. Os termos adicionais que contém a expressão p (pressão) podem ser interpretados como o trabalho mecânico realizado pelo fluido em um elemento de fluido pelos elementos fluidos próximos que se movem ao redor. Estos termos somam zero em um fluido incompressível.

A mais conhecida equação de Bernoulli pode ser obtida integrando a equação de Euler através de uma linha de corrente (linhas nas quais a velocidade do fluido é tangente em cada ponto) assumindo que a densidade é constante e com uma equação de estado adequada.

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicada em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").^[2]:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores^{[3]:Capítulo 3} afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula. A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Índice

• 1Soluções
• 2Equação
  • 2.1Equação dependente do tempo
  • 2.2Equação independente do tempo
    • 2.2.1Equação unidimensional
    • 2.2.2Equação multidimensional
• 3Relação com outros princípios
• 4Partícula em uma caixa rígida
• 5Oscilador harmônico quântico
• 6Átomo de Hidrogênio
• 7Ver também
• 8Referências

Soluções

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. A função de onda - um objeto matemático que especifica completamente o comportamento dos elétrons em uma molécula - é central tanto para a química quântica quanto para a equação de Schrödinger. A função de onda é uma entidade de alta dimensão e, portanto, é extremamente difícil capturar todas as nuances que codificam como os elétrons individuais afetam uns aos outros. Muitos métodos da química quântica na verdade desistem de expressar a função de onda por completo, em vez de tentar apenas determinar a energia de uma dada molécula. No entanto, isso requer que sejam feitas aproximações, limitando a qualidade da previsão de tais métodos.

As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.^[4]:292ff A melhor das soluções, a rede neural profunda é uma maneira de representar as funções de onda dos elétrons. Em vez da abordagem padrão de compor a função de onda a partir de componentes matemáticos relativamente simples, os desenvolvedores projetaram uma rede neural artificial capaz de aprender os padrões complexos de como os elétrons estão localizados ao redor dos núcleos. Quando dois elétrons são trocados, a função de onda deve mudar seu sinal. Para que a solução funcione, essa propriedade foi construída na arquitetura da rede neural. Esse recurso é conhecido como princípio de exclusão de Pauli.^[5] Além do princípio de exclusão de Pauli, as funções de onda eletrônica também têm outras propriedades físicas fundamentais, e o sucesso da abordagem PauliNet é que ela integra essas propriedades na rede neural profunda, em vez de permitir que o aprendizado profundo as decifre apenas observando os dados. Com esta abordagem de 2020, as possibilidades se abrem para resolver problemas nas ciências moleculares e materiais.^[6]

Equação

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante ${\displaystyle t}$ por ${\displaystyle \left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[7]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) ${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

Em que ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária, ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck dividida por ${\displaystyle 2\pi }$, e o Hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[8]

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)}$,

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

em que ${\displaystyle \psi \left(x\right)}$ é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck ${\displaystyle h}$ dividida por ${\displaystyle 2\pi }$; ${\displaystyle m}$ é a massa da partícula; ${\displaystyle V\left(x\right)}$ é a função energia potencial e ${\displaystyle E}$ é a energia do sistema.

Equação multidimensional

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[9]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)}$

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em que ${\displaystyle {\nabla }^{2}\psi =\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{n}^{2}}}}$ 

Relação com outros princípios

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: ${\displaystyle E_{m}=E_{c}+V}$

Equação do Oscilador harmônico: ${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\psi =0}$

Relação de De Broglie: ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

Onde ${\displaystyle \psi }$ é a função de onda, ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}}$, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi mv}{h}}\right)^{2}\psi =0\to \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {-4(\pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}\psi \to {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=v^{2}\psi }$

Rearranjando a equação de energia, temos que ${\displaystyle v^{2}={\frac {2(E_{m}-V)}{m}}}$, substituindo ${\displaystyle v^{2}}$ na equação anterior:

${\displaystyle {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)\psi }$ , definindo ${\displaystyle \hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}}$, temos:

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

${\displaystyle {\widehat {H}}\psi =E\psi }$, em que ${\displaystyle {\widehat {H}}\psi }$ é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[10]

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Lembrando a relação ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$, também pode se escrever:

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi }$

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

em que H_n são os polinômios de Hermite.

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)}$

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

E os níveis de energia correspondentes são:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados./////

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

é o operador laplaciano em ${\displaystyle N}$ dimensões aplicado à função ${\displaystyle \psi }$.

As equações de Jefimenko descrevem o comportamento de campos elétricos e campo magnético em função da posição das fontes do campo em instantes retardados. Junto equação de continuidade, as equações de Jefimenko são equivalentes às equações de Maxwell.

C

O campo elétrico ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e o campo magnético ${\displaystyle \mathbf {B} }$ oriundos do término da densidade de carga ${\displaystyle \rho \,}$ e adensidade de corrente ${\displaystyle \mathbf {J} }$ como:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {E} ({\vec {r}},t)={\cfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\left({\frac {\rho (\mathbf {r'} ,t_{r})\mathbf {R} }{R^{3}}}+{\cfrac {\mathbf {R} }{R^{2}c}}{\cfrac {\partial \rho (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}-{\cfrac {1}{Rc^{2}}}{\cfrac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }\\\mathbf {B} ({\vec {r}},t)={\cfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left({\cfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})\times \mathbf {R} }{R^{3}}}+{\cfrac {1}{R^{2}c}}{\cfrac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\times \mathbf {R} \right)d^{3}\mathbf {r'} }\end{cases}}}$|1| 

O uso do tempo retardado significa que o campo no instante t a uma distância R das cargas depende de como estavam as cargas situadas no instante anterior, devido a velocidade de propagação finita do campo ao campo criado pelas cargas de agora e se manifesta somente em tempos espaçados e grandes distâncias, porque não existe conexão entre a posição das cargas de "agora" em grandes distâncias das cargas.

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

Onde ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r'} }$, e ${\displaystyle t_{r}=t-R/c\,}$.

ampo eletromagnético no vácuo